Matemáticas 2
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10. Plano cartesiano

Plano Cartesiano

Definición: El plano cartesiano es el conjunto de puntos en el plano Euclidiano que se forman con el trazo de dos ejes que son perpendiculares entre sí:
El eje de las abscisas y el eje de las ordenadas.

1. Representación de puntos

Definición: Si x, y son números reales, entonces la pareja ordenada (x , y) es un punto en el plano cartesiano. De tal forma que x se ubica en el eje de la abscisa (horizontal) e y se ubica en el eje de las ordenadas (vertical). 

El punto (x , y) se denota usualmente también por:


P(x, y)

y se suele nombrar como el punto con coordenadas x e y.

2. Distancia entre dos puntos

Teorema: Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son puntos en el plano cartesiano, entonces la distancia entre P1 y P2 es:


√[(x2-x1)2 + (y2-y1)2]


Demostración:


Sea P1P2 el segmento que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2).
Ahora tracemos rectas perpendiculares al eje X que pasen por P1, y P2 , respectivamente y, una recta paralela al eje X que pase por P1.
De esta manera; tenemos las siguientes consecuencias:

1. La primera coordenada en del punto R es:  x2
2. La segunda coordenada en del punto R es:  y1
Se forma un triángulo rectángulo ∆P1P2R. Ver la figura de arriba.
Por lo que, aplicando el teorema de Pitagoras, tenemos los siguiente:

|P1P2|2=|P1R|2 + |P2R|2

Estos es;

|P1P2|2=(x2-x1)2 + (y2-y1)2

Equivalentemente;

|P1P2|=[(x2-x1)2 + (y2-y1)2 ]

Fin de la demostración.

3. Punto medio de un segmento

Teorema: Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son puntos en el plano cartesiano, entonces las coordenadas del punto medio Pm(xm, ym) del segmento P1P2 son:


xm=(x2+x1)/2

ym=(y2+y1)/2

Demostración:




Sea P1P2 el segmento que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2).
Dividamos el segmento P1P2 a la mitad, por lo que las coordenadas del punto medio es, por el momento; Pm(xm, ym).
Ahora tracemos rectas perpendiculares al eje X que pasen por P1, Pm , y P2 , respectivamente y, una recta paralela al eje X que pase por P1.
De esta manera; tenemos las siguientes consecuencias:

1. La primera coordenada en del punto Q es:  xm
2. La segunda coordenada en del punto Q es:  y1
3. La primera coordenada en del punto R es:  x2
4. La segunda coordenada en del punto R es:  y1

Por el teorema de Tales, se forman dos triángulos semejantes, a saber, los triángulos rectángulos ∆P1P2R y ∆P1Pm Q . Ver la figura de arriba.
Por lo que entonces tenemos dos casos importantes:

1)  |PmQ|= 1/2 |P2R|

esto es:

ym - y1= 1/2(y2- y1)

y= 1/2 (y2- y1)+y1

y= 1/2 (y2+y1)

2)
  |P1Q|= 1/2 |P1R|

esto es:

xm - x1= 1/2(x2- x1)

x= 1/2 (x2- x1)+x1

x= 1/2 (x2+x1)
 


4. Ángulo de inclinación de un segmento de recta

Definición: El ángulo de inclinación α de un segmento que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es el ángulo 0°=< α <180° que se forma entre la parte positiva del eje de las abscisas y la recta que pasa por los puntos P1 y P2 , en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

Teorema: Si α es el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) entonces:

tan(α)=(y2-y1)/(x2-x1)

 

5. Pendiente de un segmento de recta

Definición: Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son puntos en el plano cartesiano, entonces la pendiente del segmento de recta que pasa por P1 y P2 es el número:


m=(y2-y1)/(x2-x1)


Nota: Si la recta que pasa por los puntos P1 y P2 resulta ser una recta que es paralela al eje Y entonces diremos que su pendiente no está definida.

6. Ejercicios para asesorías

1. Encuentre la distancia entre los siguientes pares de puntos.

a) (10, 2) y (-2, -2)
b) (3, 4) y (9, 11)

2. Encuentre el perímetro de los trángulos cuyos vértices son los siguientes puntos

a) (6,2), (4, 3) y (0,1)
b) (-3, 4), (2, -1) y (5, 3)

3. Encuentre las coordenadas de los puntos medios del triángulo cuyos vértices son: (1,3), (-2, -4) y (1, -2)

4. Determine la pendiente m y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos:
a) (2,1) y (4,3)
b) (3, 4) y (4,1)






Comentarios hacia esta página:
Comentado por daniela( dt270615gmail.com ), 09-09-2017, 17:14 (UTC):
interesante:3



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