Matemáticas 2
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5. Proporción compuesta

1. Proporción compuesta


Definición: Una proporción compuesta consta de más de dos variables, esto es, x, y, z,... etc, las cuales pueden estar en relación directa o inversa simple dos a dos.

2. Ejemplos

Ejemplo1. 15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?
 
Solución:

A) Método formal

En la primera columna escribimos los datos que nos dan. En la segunda columna escribimos los datos que nos piden. Por lo que tenemos la siguiente tabla:

tabla 1
obreros -> o 15 10
horas     -> h 6 8
días       -> d 30 x

En una nueva tabla reescribimos la primera columna identicamente y, en la segunda columna igualamos una variable, por ejemplo o=15 y en días ponemos una nueva variable y, quedando como sigue:

tabla 2
o 15 15
h 6 8
d 30 y

Sin considerar la variable o, tenemos una tabla con dos variables: h y d.

h 6 8
d 30 y

h y d están en relación inversa simple (más hora menos días), por lo que y=6*30/8=22.5.

Ahora bien; en una nueva tabla escribimos la segunda columna de la tabla 2 identicamente y, en la segunda columna ponemos o=10. Quedando como sigue:

tabla 3
o 15 10
h 8 8
d y x

Sin considerar la variable h, tenemos una tabla de dos variables: o y d

o 15 10
d y x

Como las variables o y d están en relación inversa simple (más hombres menos días), tenemos que x=15*y/10, es decir; x=15*(22.5)/10=33.75.

B) Método práctico

Tenemos la misma tabla 1.

o 15 10
h 6 8
d 30 x

1. Le agregamos un + al número que le corresponde a la varible d. En nuestro caso 30+.

2. Comparamos las varibles d y h. Como d y h están en relación inversa simple, le agregamos un + al numero de la primera columa y un - al número de la segunda columna. En nuestro caso: 6+ y 8-. 

3. Comparamos las variables d y o. Como d y o están en relación inversa simple, le agregamos un + al numero de la primera columna y un - al número de la segunda columna. En nuestro caso: 15+ y 10-.

4. Finalmente tenemos:

tabla 4
obreros -> o 15+ 10-
horas     -> h 6+ 8-
días       -> d 30+ x

Ahora bien; multiplicamos todos los números que tienen un + y, los dividimos por el producto de todos aquellos números que tienen un -.

x=(15*6*30)/(10*8)=33.75

Ejemplo 2.

3 albañiles trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 5 albañiles trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra?

Solución: método práctico

Tenemos la siguiente tabla

albañiles->a 3 5
horas     ->h 8 6
metros   ->m 80 60
días       ->d 10 x

1. Puesto que m y d están en relación directa simple (más metros más días), entonces 80- y 60+.
2. Como h y d están en relación inversa simple (más horas menos días), entonces 8+ y 6-.
3. Las variables a y d están en relación inversa simple (más albañiles menos días), entonces 3+ y 5-.
4. El número que le corresponde a la variable buscada se le pone siempre un +, esto es, 10+.

Tenemos la siguiente tabla completa

albañiles->a 3+ 5-
horas     ->h 8+ 6-
metros   ->m 80- 60+
días       ->d 10+ x

Entonces x=(3*8*60*10)/(5*6*80)=6.
Solución: 6 días.

3. Ejercicios para asesorías

1. En una fábrica 5 máquinas llenan 7200 envases en 6 horas. ¿Cuántos envases llenarán 7 máquinas en 8 horas?

2. Un crucero por el caribe Mexicano para 200 personas durante 15 días necesita, para gastos de alojamiento y comida, $ 540,000. ¿Cuánto se gastará para alojar y alimentar a 250 personas durante 10 días?

3. Si 18 máquinas mueven 1200m³ de tierra en 12 días, ¿cuántos necesitarán 24 máquinas para mover 1600m³ de tierra?

4. Un caminante recorre 120 km, andando 8 horas diarias durante 5 días. ¿Cuántas horas necesitará para recorrer 129 km en 12 días?

5. Un depósito puede suministrar 12 litros diarios de agua para 25 familias durante 150 días. ¿Cuántos litros podrán suministrar a 40 familias durante 200 días?

6. 10 agricultores siembran un terreno de 10,000 m² en 9 días. ¿Cuántos días tardarán 12 agricultores en sembrar 15,000 m²?







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