7. Teorema de Pitágoras

1. Teorema de Pitágoras

Lema: Si CD es la altura del vértice C al lado AB en el triángulo rectángulo ∆CBA, entonces las parejas de triángulos (∆CBA, ∆DBC) y (∆CBA, ∆DCA) son semejantes.

Demostración:

1. Puesto que en los triángulos ∆CBA y ∆DBC se tiene que, <C=<D y <B=<B, entonces por el teorema de semejanza [ALA], se concluye que ∆CBA y ∆DBC son semejantes.

2. Puesto que en los triángulos ∆CBA y ∆DCA se tiene que, <C=<D y <A=<A, entonces por el teorema de semejanza [ALA], se concluye que ∆CBA y ∆DCA son semejantes.

Teorema. [Pitágoras] Si a, b son los catetos y c es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces se cumple que c²=a²+b²

Demostración:[semejanza de triángulos]

Por el lema anterior, se tiene que:

1. ∆CBA y ∆DBC son semejantes, esto es: CB/DB=BA/BC

a/f=c/a

a²=cf

2. ∆CBA y ∆DCA son semejantes, esto es: BA/CA=CA/DA

c/b=b/e

b²=ce

Por lo que tenemos:

a²+b²=cf+ce=c(f+e)=c²

a²+b²=c²

Observacion 1: Si c es la hipotenusa y a, b son los catetos de un triángulo rectángulo, entonces se cumple que: c>a y c >b. Efectivamente; del teorema de Pitágoras tenemos que: a²+b²=c², puesto que a >0 y b >0, entonces a²<c² y b²<c², es decir, a < c y b < c.

Observacion 2: El teorema de Pitágoras se demostró con ayuda del teorema de semejanza de triángulos [ALA], mismo que es resultado del V postulado de semejanza de triángulos [LAL].