Matemáticas 2
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7. Teorema de Pitágoras

1. Teorema de Pitágoras

Lema: Si CD es la altura del vértice C al lado AB en el triángulo rectángulo ∆CBA, entonces las parejas de triángulos (∆CBA, ∆DBC) y (∆CBA, ∆DCA) son semejantes.



Demostración:

1. Puesto que en los triángulos ∆CBA y ∆DBC se tiene que, <C=<D y <B=<B, entonces por el teorema de semejanza [ALA], se concluye que ∆CBA y ∆DBC son semejantes.

2. Puesto que en los triángulos ∆CBA y ∆DCA se tiene que, <C=<D y <A=<A, entonces por el teorema de semejanza [ALA], se concluye que ∆CBA y ∆DCA son semejantes.


Teorema.
[Pitágoras] Si a, b son los catetos y c es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces se cumple que c²=a²+b²



Demostración:[semejanza de triángulos]




Por el lema anterior, se tiene que:

1. ∆CBA y ∆DBC son semejantes, esto es: CB/DB=BA/BC

a/f=c/a

a²=cf

2. ∆CBA y ∆DCA son semejantes, esto es: BA/CA=CA/DA

c/b=b/e

b²=ce

Por lo que tenemos:

a²+b²=cf+ce=c(f+e)=c²

a²+b²=c²

2. Teorema completo de Pitágoras



3. Ejemplos

1. Hallar la hipotenusa del siguiente triángulo


2. Hallar el cateto x.



3. Hallar el cateto x.



4. Ejercicios para asesorías

1. Hallar el cateto x.


2. Hallar la hipotenusa x.


3. Hallar el cateto x.


4. Hallar la altura a, del triángulo equilatero


5. Hallar los catetos x, en el triángulo isósceles.


6. Hallar la altura a de un triángulo equilatero cuyo perímetro es de 27 cm.


7. Hallar el área de la región sombreada









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