9. Teoremas de áreas, senos y cosenos

1. Teorema de área de triángulos.

Lema: En un triangulo acutángulo las alturas cortan al lado opuesto del vértice.

Demostración:

Por contradicción. Sea ∆ABC un triangulo acutángulo. Por el vértice A tracemos la altura h. Supongamos que la altura h, no corta al lado opuesto BC. Esto es, h corta a la prolongación del lado BC como se muestra en la figura.

Por hipótesis, tenemos que 90° > B. Por construcción tenemos que A' > A. Por lo que tenemos que para el triángulo ∆A'B'C se cumple lo siguiente:

A' + B' + C > A+B+C=180°.

Lo que contradice el hecho de que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo suman 180°.

Por tanto; la altura h sí corta al lado BC.

Fín de la demostración del lema.

Teorema [área de un triángulo]. El área de un triángulo es:

1/2 b*a

donde b es base y a es altura.

Demostración:

Caso 1. El triángulo es rectángulo

b es base y a es altura

Por lo que: área ∆ABC = 1/2*b*a

Caso 2. El triángulo es acutángulo

La base es: b= b₁ + b₂
la altura h

Por lo que: área ∆ABC = ∆ABD + ∆DBC= 1/2*b₁ *h + 1/2*b₂*h=1/2*h(b₁ + b₂)= 1/2*b*h

Caso 3. El triángulo es obtusángulo

La base es: b=b₁
la altura h

Por lo que: área ∆ABC = ∆ABD - ∆DBC= 1/2*h(b₁ + b₂) - 1/2*b₂ *h =1/2*b₁*h.

Teorema [área de un triángulo]. Si los ángulos A, B y C forman un triángulo, donde a es el lado opuesto de A, b es el lado opuesto de B y c es el lado opuesto de C, entonces el área del triangulo ABC se puede calcular con las siguientes:

1/2 ab Sen(C)
1/2 bc Sen(A)
1/2 ac Sen(B)

Demostración:

Caso 1. C es un ángulo recto ( ∆ABC es rectángulo)

1) Tenemos que: c ∙ Sen(A)=a.

Por lo que:

Área ∆ABC=base ∙ altura/2= b ∙ a /2 = b ∙ c ∙ Sen(A)/2.

2) Tenemos que: c ∙ Sen(B)=b.

Por lo que:

Área ∆ABC=base ∙ altura/2= a ∙ b /2 = a ∙ c ∙ Sen(B)/2.

3) Tenemos que: Sen(C)=1.

Por lo que:

Área ∆ABC=base ∙ altura/2= a ∙ b /2 = a ∙ b ∙ Sen(C)/2.

Caso 2. C es un ángulo agudo ( ∆ABC es acutángulo)

1) Tenemos que: c ∙ Sen(A)=h.

Por lo que:

Área ∆ABC=base ∙ altura/2= b ∙ h /2 = b ∙ c ∙ Sen(A)/2.

2) Tenemos que: a ∙ Sen(C)=h.

Por lo que:

Área ∆ABC=base ∙ altura/2= b ∙ h /2 = b ∙ a ∙ Sen(C)/2.

3) Tenemos que: c ∙ Sen(B)=h.

Por lo que:

Área ∆ABC=base ∙ altura/2= a ∙ h /2 = a ∙ c ∙ Sen(B)/2.

Caso 3. C es un ángulo obtuso ( ∆ABC es obtusángulo)

1) Tenemos que: Sen(C)=Sen(180-C)=h/a.
Es decir; a ∙ Sen(C)=h.

Por lo que:

Área ∆ABC=base ∙ altura/2= b ∙ a /2 = b ∙ a ∙ Sen(C)/2.

2) Tenemos que: a ∙ Sen(B)=h₁.

Por lo que:

Área ∆ABC=base ∙ altura/2= c ∙ h₁ /2 = c ∙ a ∙ Sen(B)/2.

3) Tenemos que: c ∙ Sen(A)=h.

Por lo que:

Área ∆ABC=base ∙ altura/2= b ∙ h /2 = b ∙ c ∙ Sen(A)/2.

Ejemplo: Hallar el área del siguiente triángulo.

2. Teorema de senos.

Teorema [senos para lados]. Si los ángulos A, B y C forman un triángulo, donde a es el lado opuesto de A, b es el lado opuesto de B y c es el lado opuesto de C, entonces se cumple que

Sen(A)/a=Sen(B)/b=Sen(C)/c

Demostración:

Por el teorema anterior (teorema de áreas) se tiene que:

Área ∆ABC= b ∙ c ∙ Sen(A)/2= c ∙ a ∙ Sen(B)/2= b ∙ a ∙ Sen(C)/2.

Por lo que si dividimos por 1/2 a ∙ b ∙ c, tenemos lo siguiente:

Área ∆ABC/ [1/2 a ∙ b ∙ c]= [b ∙ c ∙ Sen(A)/2] / [1/2 a ∙ b ∙ c]= [c ∙ a ∙ Sen(B)/2] / [1/2 a ∙ b ∙ c] = [b ∙ a ∙ Sen(C)/2] / [1/2 a ∙ b ∙ c].

Es decir:

Sen(A) / a = Sen(B) / b = Sen(C) / c.

Fín de la demostración.

Aquí ponemos una demostración alternativa, que es una consecuencia del teorema del ángulo central e inscrito.

Corolario [senos para ángulos]. Si los ángulos A, B y C forman un triángulo, donde a es el lado opuesto de A, b es el lado opuesto de B y c es el lado opuesto de C, entonces se cumple que

A=Sen⁻¹[a/b * Sen(B)]
A=Sen⁻¹[a/c * Sen(C)]

B=Sen⁻¹[b/a * Sen(A)]
B=Sen⁻¹[b/c * Sen(C)]

C=Sen⁻¹[c/a * Sen(A)]
C=Sen⁻¹[c/b * Sen(B)]

Observación: Sin perder generalidad, para el ángulo B:

Sen(B)<1.

Caso 1. Una sola solución para B.

Caso 2. Dos soluciones para B.

i) 0<B<90
ii) 90<B<180

Sen(B) > 1.

Caso 3. Sin solución para B.
El triángulo es imposible de existir.

Ejemplo 0. Resolver el siguiente triángulo con ayuda del teorema de senos.

Ejemplo1. Resolver el siguiente triángulo con ayuda del teorema de senos.

Ejemplo 2. Resolver el siguiente triángulo.

Reescribiendo el triángulo:

Puesto que:

Sen(B)/9=Sen(30)/8, entonces:

Sen(B)=9/8 * 1/2=9/16 <1

Por la observación anterior, es posible tener dos soluciones para B:

B=Sen⁻¹[9/16]

Solución 1.

0< B=34° 12 ' < 90

Solución 2.

90< B=145° 42 ' < 180

Ejemplo 3

3. Teorema de cosenos.

Teorema [cosenos para lados]. Si los ángulos A, B y C forman un triángulo, donde a es el lado opuesto de A, b es el lado opuesto de B y c es el lado opuesto de C, entonces se cumple que

a²=b²+c²-2bcCos(A)
b²=a²+c²-2acCos(B)
c²=a²+b²-2abCos(C)

Demostración:

Caso 1. C es un ángulo recto ( ∆ABC es rectángulo)

1) Tenemos que: c ∙ Cos(A)=b.

Por lo que:

a²= c² - b²
= c² + b²- 2b² = c² + b²- 2b ∙ c Cos(A)

2) Tenemos que: c ∙ Cos(B)=a.

Por lo que:

b²= c² - a²
= c² + a²- 2a² = c² + a²- 2a ∙ c Cos(B)

3) Tenemos que: Cos(C)=0.

Por lo que:

c²= a² + b² = a² + b²- 2b ∙ a Cos(C)

Caso 2. C es un ángulo agudo ( ∆ABC es acutángulo)

1) Tenemos que: a ∙ Cos(C)=x, h²=a² - x² y c²=h² + (b-x)² .

Por lo que:

c²=h² + b² - 2bx + x²
= a² - x² + b²-2bx + x² = a² + b²- 2b ∙ a Cos(C)

2) Tenemos que: c ∙ Cos(A)=b-x, es decir, x=b - c ∙ Cos(A) .

Por lo que:

a²= h² + x²
= c² - (b-x)²+x² = c² - b²+2bx
= c² - b²+2b ( b - c ∙ Cos(A) )
= c² + b² - 2b c ∙ Cos(A)

3) Tenemos que: c ∙ Cos(B)=x, h²=c² - x² y b²=h² + (a-x)² .

Por lo que:

b²=h² + a² - 2ax + x²
= c² - x² + a²-2ax + x² = c² + a²- 2a ∙ c Cos(B)

Caso 3. C es un ángulo obtuso ( ∆ABC es obtusángulo)

1) Tenemos que: c ∙ Cos(A)=b+x, es decir, x=c ∙ Cos(A)-b y h²= c² - (b+x)².

Por lo que:

a²= h² + x²
= c² - (b-x)²+x² = c² - b²+2bx
= c² - b²+2b ( b - c ∙ Cos(A) )
= c² + b² - 2b c ∙ Cos(A)

2) Tenemos que: a ∙ Cos(C)=x, h²=a² - x² y c²=h² + (b+x)² .

Por lo que:

c²=h² + b² + 2bx + x²
= a² - x² + b²+2bx + x² = a² + b²- 2b ∙ a Cos(C)

3) Tenemos que: a ∙ Cos(B)=y, h₁²=a² - y² y b² =h₁²+ (c-y)² .

Por lo que:

b²=a² - y² + c² - 2cy + y²
= a² + c² -2cy = a²+ c² - 2a ∙ c Cos(B)

Fín de la demostración.

Corolario [cosenos para ángulos]. Si los ángulos A, B y C forman un triángulo, donde a es el lado opuesto de A, b es el lado opuesto de B y c es el lado opuesto de C, entonces se cumple que

A= cos^-1[ a²-b²-c² / -2bc]
B= cos^-1[ b²-a²-c² / -2ac]
C= cos^-1[ c²-a²-b² / -2ab]

Ejemplo 1. Resolver el siguiente triángulo con ayuda del teorema de cosenos.

Solución:

c²=4² + 5² - 2(4)(5) * Cos(70)

c²=27.31

c=5.22

A= Cos⁻¹[ (4²-5²-5.22²) / (-2(5)(5.22)) ]

A=46°

Por lo que A=46° y B=64°

4. Ejercicios para asesorías

Ejercicio 1. Usa el teorema de áreas para encontrar el área del siguiente triángulo.

Ejercicio 2. Usa el teorema de senos para resolver el siguiente triángulo.

Ejercicio 3. Usa el teorema de cosenos para resolver el siguiente triángulo.