Demostración del teorema de Tales
Teorema fundamental de semejanza y de Tales.
Lema. Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.Demostración.
Proposición 1. Si una recta transversal corta a un sistema de rectas tal que, los ángulos que se forman (del mismo lado de la transversal con el sistema de rectas), son iguales, entonces las rectas son paralelas.
Demostración:
Por contradicción.
Si las rectas L y m se cortan en J, la suma de los ángulos internos del triángulo ∆GHJ es mayor que 180, lo que contradice el teorema de la suma de los ángulos internos.
De manera similar, si las rectas L y m se cortan en K, en el lado opuesto de la transversal OT, entonces la suma de los ángulos internos del triángulo ∆GHK es mayor que 180 lo que contradice el teorema de los ángulo internos.
Ahora bien; puesto que las rectas L y m no se cortan, entonces son paralelas. De manera similar se demuestra que las rectas m y n son paralelas.
q.e.d.
Proposición 2. (correspondientes y colaterales internos) Si una recta transversal corta a un sistema de rectas paralelas entonces
1. Los ángulos que se forman del mismo lado de la transversal con el sistema de rectas (correspondientes), son iguales.
2. La suma de los ángulos colaterales internos es de 180°.
Demostración:
1. Sea m' la recta tal que <D'HG =<BGO por la proposición 1, la recta L y m' son paralelas. Ahora bien; las rectas L y m son paralelas. Puesto que las rectas m y m' tienen un punto en común, entonces m y m' coinciden. Por lo que <DHG=<BGO.
2. 180=<BGO + (180 - <HGB), ahora bien; puesto que <DHG=<BGO, entonces
180=<DHG + <BGH
q.e.d.
Observación: La proposición 2 es consecuencia de la proposición 1, la proposición 1 es consecuencia del teorema de la suma de ángulos internos de triángulos, que a su vez, es consecuencia del axioma [LAL], de semejanza de triángulos ángulos. Por lo que tenemos el siguente corolario importante.
Corolario[Axioma de Euclides] El axioma de semejanza de triángulos [LAL] implica el V postulado de Euclides.
Demostración:
Teorema [de Tales]. Dos rectas transversales a un sistema de rectas paralelas cortan al sistema de rectas en segmentos proporcionales.
Demostración:
Caso 1.
Sean el sistema de rectas paralelas AE,..., BF, CG, DH, las transversales ST y UV con ST y UV no paralelas.
Sea O la intersección de las transversales ST y UV. Los triángulos OAE, OBF, OCG, ODH tiene en común el ángulo <O e iguales los ángulos en A, B, C y D [proposición 2]. Por el criterio de semejanza de triángulos [ALA], estos triángulos son semejantes. Esto es; existe un número real r tal que:
OA/OE=OB/OF=OC/OG=OD/OH=r
Lo que implica :
AB=OB-OA=r OF- r OE=r (OF-OE)=r EF
BC=OC-OB=r OG- r OF=r (OG-OF)=r FG
CD=OD-OC=r OH - r OG=R(OH-OG)= r GH
Caso 2.
Sean el sistema de rectas paralelas AE,..., BF, CG, DH, las transversales ST y U'V' con ST y U'V' paralelas.
Se contruye la recta UV tal que UV y U'V' no son rectas paralelas. Es así que entonces la recta UV corta a las rectas ST y U'V' en los puntos O y W respectivamente.
Ahora bien; por el caso 1, tenemos que existen números reales r y s tal que:
AB=r EF
BC=r FG
CD=r GH
EF=s E'F'
FG=s F'G'
GH=s G'H'
Por lo que entonces:
AB=r s E'F'
BC=r s F'G'
CD=r s G'H'
q.e.d.
Teorema[ De suficiencia de semejanza]. Sea el triángulo ∆ABC. Si el segmento A'B' es paralelo al segmento AB, entonces A' B' divide a AC y BC en partes proporcionales.
Demostración:
Por el teorema de Tales, se sigue que la pareja de segmentos (AC, AC') y (BC, BC') son proporcionales.
q.e.d.
Teorema[ De necesidad de semejanza]. Sea el triángulo ∆ABC. Si el segmento A'B' divide a AC y BC en partes proporcionales, entonces A' B' es paralelo al segmento AB.
Demostración:
Supongamos que A'B' no es paralelo a AB.
Sea A'B'' el segmento tal que A'B'' es paralelo a AB. Por el teorema de Tales tenemos que AC / A'C = BC / B'' C [1]
Por hipótesis tenemos que:
AA' / A'C = B B' / B'C [2]
lo que implica que;
(AA' + A'C) / A'C = (B B' + B'C) / B'C
es decir;
AC/ A'C= BC / B'C [3]
De [1] y [3] tenemos:
BC / B'' C = BC / B'C
entonces:
B'' C = B'C
Lo que implica que:
A' B' coincide con A'B''.
Es decir; A'B' es paralelo a AB. Contradiciendo el hecho que no lo eran.
Por tanto; A' B' sí es paralelo con AB.
q.e.d.
Teorema [fundamental de semejanza de triángulos].
Sea el triángulo ∆ABC. El segmento A'B' es paralelo al segmento AB, sí y sólo sí, el triángulo ∆A'B'C es semejante al triángulo ∆ABC.
Demostración:
[-->] Por el teorema de proporcionalidad, se sigue que la pareja de segmentos (AC, AC') y (BC, BC') son proporcionales. Ahora; como los triángulos ∆ABC y ∆A'B'C comparten el mismo ángulo <C, por el criterio de semejanza de triángulos [LAL], entonces los triángulos ∆ABC y ∆A'B'C son semejantes.
[<--] Se sigue por el teorema 2 de semejanza.
q.e.d.