Matemáticas 2
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Demostración del teorema de Tales

Teorema fundamental de semejanza y de Tales.

Proposición 1. Si una recta transversal corta a un sistema de rectas tal que los ángulos que se forman (del mismo lado de la transversal con el sistema de rectas), son iguales, entonces las rectas son paralelas.


Demostración:

Si las rectas L y m se cortan en J, la suma de los ángulos internos del triángulo ∆GHJ es mayor que 180, lo que contradice el teorema anterior.
De manera similar, si las rectas L y m se cortan en K, en el lado opuesto de la transversal OT, entonces la suma de los ángulos internos del triángulo ∆GHK es mayor que 180 lo que contradice el teorema anterior.
Ahora bien; puesto que las rectas L y m no se cortan, entonces son paralelas. De manera similar se demuestra que las rectas m y n son paralelas.

q.e.d.


Proposición 2. Si una recta transversal corta a un sistema de rectas paralelas, entonces los ángulos que se forman (del mismo lado de la transversal con el sistema de rectas), son iguales.

Demostración:



Sea m' la recta tal que <D'HG =<BGO por la proposición 1, la recta L y m' son paralelas. Ahora bien; las rectas L y m son paralelas. Puesto que las rectas m y m' tienen un punto en común, entonces m y m' coinciden. Por lo que <DHG=<BGO.

q.e.d.


Teorema [de Tales]. Dos rectas transversales a un sistema de rectas paralelas cortan al sistema de rectas en segmentos proporcionales.


Demostración:

Caso 1.
Sean el sistema de rectas paralelas AE,..., BF, CG, DH, las transversales ST y UV con ST y UV no paralelas.




Sea O la intersección de las transversales ST y UV. Los triángulos OAE, OBF, OCG, ODH tiene en común el ángulo <O e iguales los ángulos en A, B, C y D [proposición 2]. Por el criterio de semejanza de triángulos [ALA], estos triángulos son semejantes. Esto es; existe un número real r tal que:

OA/OE=OB/OF=OC/OG=OD/OH=r

Lo que implica :

AB=OB-OA=r OF- r OE=r (OF-OE)=r EF
BC=OC-OB=r OG- r OF=r (OG-OF)=r FG
CD=OD-OC=r OH - r OG=R(OH-OG)= r GH


Caso 2.
Sean el sistema de rectas paralelas AE,..., BF, CG, DH, las transversales ST y U'V' con ST y U'V' paralelas.




Se contruye la recta UV tal que UV y U'V' no son rectas paralelas. Es así que entonces la recta UV corta a las rectas ST y U'V' en los puntos O y W respectivamente.
Ahora bien; por el caso 1, tenemos que existen números reales r y s tal que:

AB=r EF
BC=r FG
CD=r GH

EF=s E'F'
FG=s F'G'
GH=s G'H'

Por lo que entonces:

AB=r s E'F'
BC=r s F'G'
CD=r s G'H'

q.e.d.

Teorema[ 1 de semejanza]. Sea el triángulo ∆ABC. Si el segmento A'B' es paralelo al segmento AB, entonces A' B' divide a AC y BC en partes proporcionales.



Demostración:

Por el teorema de Tales, se sigue que la pareja de segmentos (AC, AC') y (BC, BC') son proporcionales.

q.e.d.



Teorema[ 2 de semejanza]. Sea el triángulo ∆ABC. Si el segmento A'B' divide a AC y BC en partes proporcionales, entonces A' B' es paralelo al segmento AB.




Demostración:

Supongamos que A'B' no es paralelo a AB.
Sea A'B'' el segmento tal que A'B'' es paralelo a AB. Por el teorema de Tales tenemos que AC / A'C = BC / B'' C          [1]
Por hipótesis tenemos que:
AA' / A'C = B B' / B'C          [2]
lo que implica que;
(AA' + A'C) / A'C = (B B' + B'C) / B'C
es decir;
AC/ A'C= BC / B'C              [3]
De [1] y [3] tenemos:
BC / B'' C  = BC / B'C
entonces:
B'' C  =  B'C
Lo que implica que:
A' B' coincide con A'B''.
Es decir; A'B' es paralelo a AB. Contradiciendo el hecho que no lo eran.
Por tanto; A' B' es paralelo con AB.
q.e.d.


Teorema [fundamental de semejanza].


Sea el triángulo ∆ABC. Si el segmento A'B' es paralelo al segmento AB, sí y sólo sí, el triángulo ∆A'B'C es semejante al triángulo ∆ABC.



Demostración:

[-->] Por el teorema de proporcionalidad, se sigue que la pareja de segmentos (AC, AC') y (BC, BC') son proporcionales. Ahora; como los triángulos ∆ABC y ∆A'B'C comparten el mismo ángulo <C, por el criterio de semejanza de triángulos [LAL], entonces los triángulos ∆ABC y ∆A'B'C son semejantes. 
[<--] Se sigue por el teorema 2 de semejanza.
q.e.d.





















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