10. Plano cartesiano

Plano Cartesiano

Definición: El plano cartesiano es el conjunto de puntos en el plano Euclidiano que se forman con el trazo de dos ejes que son perpendiculares entre sí:
El eje de las abscisas y el eje de las ordenadas.

1. Representación de puntos

Definición: Si x, y son números reales, entonces la pareja ordenada (x , y) es un punto en el plano cartesiano. De tal forma que x se ubica en el eje de la abscisa (horizontal) e y se ubica en el eje de las ordenadas (vertical). 

El punto (x , y) se denota usualmente también por:

P(x, y)

y se suele nombrar como el punto con coordenadas x e y.

2. Distancia entre dos puntos

Teorema: Si P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂) son puntos en el plano cartesiano, entonces la distancia entre P₁ y P₂ es:

√[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

Demostración:


Sea P₁P₂ el segmento que pasa por los puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂).
Ahora tracemos rectas perpendiculares al eje X que pasen por P₁, y P₂ , respectivamente y, una recta paralela al eje X que pase por P₁.
De esta manera; tenemos las siguientes consecuencias:

1. La primera coordenada en del punto R es:  x₂
2. La segunda coordenada en del punto R es:  y₁
Se forma un triángulo rectángulo ∆P₁P₂R. Ver la figura de arriba.
Por lo que, aplicando el teorema de Pitagoras, tenemos los siguiente:

|P₁P₂|²=|P₁R|² + |P₂R|²

Estos es;

|P₁P₂|²=(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²

Equivalentemente;

|P₁P₂|=√[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² ]

Fin de la demostración.

3. Punto medio de un segmento

Teorema: Si P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂) son puntos en el plano cartesiano, entonces las coordenadas del punto medio P_m(x_m, y_m) del segmento P₁P₂ son:

x_m=(x₂+x₁)/2

y_m=(y₂+y₁)/2

Demostración:




Sea P₁P₂ el segmento que pasa por los puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂).
Dividamos el segmento P₁P₂ a la mitad, por lo que las coordenadas del punto medio es, por el momento; P_m(x_m, y_m).
Ahora tracemos rectas perpendiculares al eje X que pasen por P₁, P_m , y P₂ , respectivamente y, una recta paralela al eje X que pase por P₁.
De esta manera; tenemos las siguientes consecuencias:

1. La primera coordenada en del punto Q es:  x_m
2. La segunda coordenada en del punto Q es:  y₁
3. La primera coordenada en del punto R es:  x₂
4. La segunda coordenada en del punto R es:  y₁

Por el teorema de Tales, se forman dos triángulos semejantes, a saber, los triángulos rectángulos ∆P₁P₂R y ∆P₁P_m Q . Ver la figura de arriba.
Por lo que entonces tenemos dos casos importantes:

1)  |P_mQ|= 1/2 |P₂R|

esto es:

y_m - y₁= 1/2(y₂- y₁)

y_m = 1/2 (y₂- y₁)+y₁

y_m = 1/2 (y₂+y₁)

2)  |P₁Q|= 1/2 |P₁R|

esto es:

x_m - x₁= 1/2(x₂- x₁)

x_m = 1/2 (x₂- x₁)+x₁

x_m = 1/2 (x₂+x₁)

4. Pendiente de la recta que pasa por dos puntos

Definición: Si P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂) son puntos en el plano cartesiano, entonces la pendiente de la recta que pasa por P₁ y P₂ es el número:

m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)

Nota: Si la recta que pasa por los puntos P₁ y P₂ resulta ser una recta que es paralela al eje Y entonces diremos que su pendiente NO está definida. 

5. Ángulo de inclinación de la recta

Definición: El ángulo de inclinación α de una recta que pasa por los puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂) es el ángulo 0°≤α <180°,  α  ≠ 90° que se forma entre la parte positiva del eje de las abscisas y la recta que pasa por los puntos P₁ y P₂ , en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

 

Teorema: Si α es el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂) entonces tan(α) es la pendiente de la recta que pasa por P₁ y P₂, esto es;

tan(α)=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)

Demostración:

Caso 1. 0°≤α <90°




Es claro que: tan(α)=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)

Caso 2. 90°<α <180°
 


Considerando la reflexión de los puntos y recta por la recta L: x=p, tenemos lo siguiente:





Lo que implica que:

tan(α) = - tan(180-α) = - (y₂-y₁)/(p-x₂-(p-x₁)) = - (y₂-y₁)/(-x₂+x₁) = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)

6. Ejercicios para asesorías

1. Encuentre la distancia entre los siguientes pares de puntos.

a) (10, 2) y (-2, -2)
b) (3, 4) y (9, 11)

2. Encuentre el perímetro de los trángulos cuyos vértices son los siguientes puntos

a) (6,2), (4, 3) y (0,1)
b) (-3, 4), (2, -1) y (5, 3)

3. Encuentre las coordenadas de los puntos medios del triángulo cuyos vértices son: (1,3), (-2, -4) y (1, -2)
Ayuda. Hallar la coordenadas de los puntos D, E, F, en la siguiente figura.



4. Determine la pendiente m y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos:
a) (2,1) y (4,3)
b) (3, 4) y (4,3)