Matemáticas 2
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11. Ecuación de la recta

1. Modelo lineal

Definición: Un modelo lineal es:

y=mx+b

donde x e y son variables, mb son numeros que se llaman pendiente y ordenada al origen, respectivamente.

Diremos que x e y están en relación lineal, o que y varía linealmente con x.
 

Ejemplo 1. Luis tiene un plan de pago para su celular, el cuál consiste en que le cobran $0.25 pesos por minuto en llamadas. Luis abona con $100 pesos a su celular. Hallar el modelo lineal que describe el saldo de su celular a partir del número de minutos.

Solución:

Sean:

x el número de minutos.

y el saldo del celular.

Por lo que el modelo deberá llevar los siguientes dos componentes:

Saldo =  Pago inicial  -  Costo de minutos consumidos

Ahora bien; para calcular el costo de minutos consumidos es muy sencillo. Por medio de una proporción directa.

min       1              x

costo    0.25     0.25 x

Por lo que:

y= 100 - 0.25x

Así, el modelo lineal queda como:

y=-0.25x+100

Ejemplo 2. Maria renta un auto por $150 la hora y un pago de $900 por concepto de seguro. Hallar el modelo lineal que describe el costo de la renta por hora.

Solución:

Sean:

x el número de horas.

y el costo de renta.

Por lo que el modelo deberá llevar los siguientes dos componentes:

Costo de renta = Costo por hora + Pago del seguro

Ahora bien; para calcular el costo por horas es muy sencillo. Por medio de una proporción directa.

hrs       1              x

costo    150     150 x

Por lo que:

y= 150x + 900

Así, el modelo lineal queda como:

y=150x+900

Ejemplo 3. Los datos corresponden a los grados en que se congela y hierve el agua en sus dos modalidades de grados, °C y °F.
Hallar el modelo lineal de los siguientes datos.

 

Estado H2O °C °F
Congelación 0 32
Hierve 100 212


Solución:

En primer lugar, encontremos la pendiente de la recta que pasa por los puntos (0, 32) y (100, 212).

m=(212-32)/(100-0)=180/100=9/5.

En segundo lugar, encontremos la ordenada al origen.

Del par ordenado (0, 32), deducimos que: b=32.

Ahora bien, si:

c denota los grados celsius.

f denota los grados en fahrenheit

Entonces el modelo lineal es:

f=9/5c+32

2. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Teorema: La ecuación de la recta que pasa por los puntos (x1,y1) , (x2,y2) es de la forma:

y=
m(x-x1)+y1, donde m=(y2-y1)/(x2-x1)

Demostración:





Sea R(x, y) un punto genérico de la recta (ver figura). Por el teorema de Tales, tenemos que los triángulos
ΔPQT  y  ΔPRU son semejantes. Por lo que se cumple que:  (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1), es decir, (y-y1)=(y2-y1)/(x2-x1) [(x-x1)], lo que implica: y=m(x-x1)+y1, con  m=(y2-y1)/(x2-x1)

Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3, 5) y (1, -3).

Solución:
La ecuación, como función de la recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) es:
y=[(y2-y1)/(x2-x1)](x-x1)+y1.
Así que nuestra ecuación es:
y=[(-3-5)/(1-(-3))](x-(-3))+5,
es decir,
y=(-8/4)(x+3)+5
Por lo que y=-2(x+3)+5.
Finalmente; y=-2x-1.


Ejemplo 2. Un puente sobre una carretera tiene juntas de expansión, que son aberturas en el asfalto. Ese puente tiene una abertura de 1.6 cm a una temperatura de 25°C y el hueco se cierra a 0.8 cm cuando la temperatura es de 35 °C. Si el ancho de la abertura varía linealmente con la temperatura, hallar la temperatura cuando la junta se cierra completamente.

Solución:

t= temperatura
a=abertura

La abertura está en términos de la temperatura, de manera que tendremos un modelo lineal como el siguiente:

a=m*t + b

donde m es la pendiente, b es una constante.

Por lo que tenemos las coordenadas siguientes:

(25, 1.6)
(35, 0.8)

Considerando la pendiente:

m=(1.6-0.8)/(25-35)
   = 0.8/-10
   = -0.08

Por lo que la ecuación de la recta es:

a = m(t- t1) +  a1

a = -0.08(t- 25) + 1.6

a = -0.08t + 0.08*25 + 1.6

a = -0.08t +2 + 1.6

a = -0.08t + 3.6

Ahora bien: Si a=0, entonces

0=-0.08t + 3.6

-3.6/-0.08=t

45=t


3. Ecuación de la recta punto-pendiente.

Definición: Sea α el ángulo de inclinación de una recta. La pendiente m, de la recta es:

m=tan(α)
 

 

Teorema: La ecuación de la recta que tiene pendiente m y pasa por el punto (x1,y1) es de la forma: y=m(x-x1)+y1.

Demostracion.

Sean (x2,y2) otro punto más de la recta y  α el ángulo de inclinación de la recta.
Por el teorema del ángulo de inclinación de la recta (ver plano cartesiano), tenemos que:

tan(α)=(y2-y1)/(x2-x1)

Consideremos (x, y) un punto genérico sobre la recta.

Por el anterior teorema, tenemos que la ecuación de la recta es:

y=m(x-x1)+y1, donde m=(y2-y1)/(x2-x1)

Pero, por definición, tenemos que: m=tan(α)

Esto es:

y=m(x-x1)+y1, donde m es la pendiente de la recta.

Fin.


Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2, -1) con pendiente 3.

Solución:

La ecuación, como función de la recta que pasa por el punto (x1, y1) con pendiente m es: y=m(x-x1)+y1.
Así que nuestra ecuación viene dada por la siguiente función:
y=3(x-(-2))+(-1),
es decir,
y=3(x+2) -1,
lo que implica que;
y=3x+5.  

Ejemplo 2. Si Pedro corre a una razón de 3 metros sobre segundo y ha iniciado a una distancia de 100 metros del punto de partida. Encontrar la distancia que ha recorrido después de 5 minutos.

Solución.

d=distancia
t=tiempo (segundos)

La velocidad (pendiente) es:

v=3 m/s

El punto es:

(0, 100)

El modelo lineal que expresa la distancia recorrida d en el tiempo t es:

d=3(t-0)+ 100

es decir;

d = 3t + 100

Puesto que: 5min=300 seg

Entonces:

d=100 + 3(300)

d=  100 + 900

d=1000 metros.


Corolario1: La recta (como función) se escribe: y=ax+b, donde a, b son números reales.
Corolario2: La recta (como ecuación) se escribe: Ax+By=C, donde A, B y C son números reales.

Ejercicios para asesorías.

1. David recibe un salario de $2200 semanales más el 10% de comisión por ventas. Describir el modelo lineal del salario de David a partir del total de ventas.

2. Maria tiene $1600 en una cuenta bancaria. Ella hace varios retiros por $50. Hallar el modelo lineal del resto de la cuenta bancaria a partir del número de retiros.

3. Una empresa de gas LP que surte a un condominio, hace llegar a cada uno de los departamentos un recibo de pago. El importe total de cada mes consta de dos partes: el consumo de gas mensualmente y, el otro un pago fijo de $10 por servicio de honorarios. Tenemos la siguiente tabla con los datos siguientes:

  1er mes 2 do mes
consumo de gas (litro) 18 15
Importe 298 250
 
Hallar el modelo lineal para el importe mensual en términos del consumo de litros de gas y, hallar el precio por litro de gas (suponiendo que no ha variado el precio del gas en estos dos meses)


4. En una encuesta sobre la demanda y consumo de café se encontró que 6.5 millones de kilos se vendieron cuando el precio fué de $80 y 4 millones de kilos se vendieron cuando el precio fué de $90. Si suponemos que la cantidad de kilos vendidos está en variación lineal con el costo del café. Predecir la cantidad de kilos de café que se venderán si su costo es de $60 pesos por kilo.

5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (0, -3) y (1, 4).

6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-1, 5) y (3, -4).

7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (0,2), con pendiente m=3.

8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-2, 4), con pendiente m=1/3.

9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-4, -5), con pendiente m=0.

10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-3, -5), con pendiente m=-4/3.






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