11. Ecuación de la recta
1. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Teorema: La ecuación de la recta que pasa por los puntos (x1,y1) , (x2,y2) es de la forma:
y-mx=c, donde m y c, son números reales.
Demostración:
Sea R(x, y) un punto genérico de la recta (ver figura). Por el teorema fundamental de semejanza de triangulos, tenemos que los triángulos, ΔPQT y ΔPRU son semejantes. Por lo que se cumple que: (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1), es decir, (y-y1)=(y2-y1)/(x2-x1) [(x-x1)], lo que implica: y-y1=m(x-x1), con m=(y2-y1)/(x2-x1). Finalmente; y-y1=mx - mx1, es decir, y-mx = y1 - mx1.
Por lo tanto; y-mx=c, donde c=( y1 - mx1)
Definición:
1: La recta (como ecuación) se escribe: Ax+By=C, donde A, B y C son números reales.
2: La recta (como función) se escribe: y=ax+b, donde a, b son números reales.
Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la recta, como ecuación, que pasa por los puntos (-3, 5) y (1, -3).
Solución:
Si hacemos (x1,y1)=(-3, 5) y (x2,y2)=(1,-3).
La pendiente, de la recta que pasa por los puntos (-3, 5) y (1, -3) es:
m=[(-3 - 5)/(1-(-3))]=-8/4=-2
Sustituyendo en la ecuación: y-mx=c, donde c=y1 - mx1
tenemos:
y-(-2)x=5-(-2)(-3),
es decir,
y+2x=-1
Ejemplo 2. Hallar la ecuación de la recta, como función, que pasa por los puntos (-2,2) y (3,5)
Solución:
2. Ecuación de la recta punto-ángulo
Demostracion.
inicio
Fin.
Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) con ángulo de inclinación de 30 grados.
Solución:
La ecuación de la recta que pasa por el punto (x1, y1) con pendiente m es: y=m(x-x1)+y1. Donde m= tan(α)
Por lo que m=tan(30)=1 / √3
y=(1 / √3)(x-1)+2, es decir,
√3y = x + 2√3-1, la recta como ecuación es;
√3y - x - 2√3 + 1 = 0
Ejemplo 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2, -1) con pendiente 3.
Solución:
La ecuación, como función de la recta que pasa por el punto (x1, y1) con pendiente m es: y=m(x-x1)+y1.
Así que nuestra ecuación viene dada por la siguiente función:
y=3(x-(-2))+(-1),
es decir,
y=3(x+2) -1,
lo que implica que;
y=3x+5.
3. Recta por la abscisa y ordenada al origen
4. Modelo lineal
Definición: Un modelo lineal es la ecuación de una recta como función:
y=mx+b
donde x e y son variables, m y b son numeros que se llaman pendiente y ordenada al origen, respectivamente.
Diremos que x e y están en relación lineal, o que y varía linealmente con x.
Observación: Si la ordenada al origen es cero, esto es, b=0 en un modelo lineal, entonces la variable y está en proporción directa con la variable x.
Ejemplo 1. Luis tiene un plan de pago para su celular, el cuál consiste en que le cobran $0.25 pesos por minuto en llamadas. Luis abona con $100 pesos a su celular. Hallar el modelo lineal que describe el saldo de su celular a partir del número de minutos.
Solución:
Sean:
x el número de minutos.
y el saldo del celular.
Por lo que el modelo deberá llevar los siguientes dos componentes:
Saldo = Pago inicial - Costo de minutos consumidos
Ahora bien; para calcular el costo de minutos consumidos es muy sencillo. Por medio de una proporción directa.
min 1 x
costo 0.25 0.25 x
Por lo que:
y= 100 - 0.25x
Así, el modelo lineal queda como:
y=-0.25x+100
Ejemplo 2. Maria renta un auto por $150 la hora y un pago de $900 por concepto de seguro. Hallar el modelo lineal que describe el costo de la renta por hora.
Solución:
Sean:
x el número de horas.
y el costo de renta.
Por lo que el modelo deberá llevar los siguientes dos componentes:
Costo de renta = Costo por hora + Pago del seguro
Ahora bien; para calcular el costo por horas es muy sencillo. Por medio de una proporción directa.
hrs 1 x
costo 150 150 x
Por lo que:
y= 150x + 900
Así, el modelo lineal queda como:
y=150x+900
Ejemplo 3. En la tortilleria de la esquina, el kilo de tortilla está en $21 y un agregado de $3 por concepto de papel, para envolver las tortillas. Hallar el modelo lineal que describe el costo total de tortillas.
Nota: Vamos a suponer que compramos menos de 6 kilos de tortillas.
Solución:
Sean:
x el número de kilos por torillas.
y el costo total.
Por lo que el modelo deberá llevar los siguientes dos componentes:
Costo total = Costo por kilo + Pago del papel
Ahora bien; para calcular el costo por kilo de tortillas es muy sencillo. Por medio de una proporción directa.
kilo 1 x
costo 21 21 x
Por lo que:
y= 21x + 3
Así, el modelo lineal queda como:
y=21x+3
Ejemplo 4. Con referencia al ejercicio anterior, calcular el costo total para la siguiente cantidad de kilos de tortillas: 2, 3, 4, 5.
Solución:
| kilos | costo total de tortillas |
| 2 | 45 = 21*2 + 3 |
| 3 | 66 = 21*3 + 3 |
| 4 | 87 = 21*4 + 3 |
| 5 | 108=21*5 + 3 |
Ejemplo 5. Si Pedro corre a una razón de 3 metros sobre segundo y ha iniciado a una distancia de 100 metros del punto de partida. Encontrar la distancia que ha recorrido después de 5 minutos.
Solución.
d=distancia
t=tiempo (segundos)
La velocidad (pendiente) es:
v=3 m/s
El punto es:
(0, 100)
El modelo lineal que expresa la distancia recorrida d en el tiempo t es:
d=3(t-0)+ 100
es decir;
d = 3t + 100
Puesto que: 5min=300 seg
Entonces:
d=3(300) + 100
d=900 + 100
d=1000 metros.
Ejemplo 6. Los datos corresponden a los grados en que se congela y hierve el agua en sus dos modalidades de grados, °C y °F.
Hallar el modelo lineal de los siguientes datos.
| Estado H2O | °C | °F |
| Congelación | 0 | 32 |
| Hierve | 100 | 212 |
Solución:
El modelo lineal tiene que tener como ecuación:
f = m * c + b
donde:
c denota los grados celsius.
f denota los grados en fahrenheit
b la ordenada al origen
m la pendiente
En primer lugar, encontremos la pendiente de la recta que pasa por los puntos (0, 32) y (100, 212).
m=(212-32)/(100-0)=180/100=9/5.
En segundo lugar, encontremos la ordenada al origen.
Del par ordenado (0, 32), deducimos que: b=32.
Entonces el modelo lineal es:
f=9/5c+32
Ejemplo 7. Un puente sobre una carretera tiene juntas de expansión, que son aberturas en el asfalto. Ese puente tiene una abertura de 1.6 cm a una temperatura de 25°C y el hueco se cierra a 0.8 cm cuando la temperatura es de 35 °C. Si el ancho de la abertura varía linealmente con la temperatura, hallar la temperatura cuando la junta se cierra completamente.
Solución:
t= temperatura
a=abertura
La abertura está en términos de la temperatura, de manera que tendremos un modelo lineal como el siguiente:
a=m*t + b
donde m es la pendiente, b es una constante.
Por lo que tenemos las coordenadas siguientes:
(25, 1.6)
(35, 0.8)
Considerando la pendiente:
m=(1.6-0.8)/(25-35)
= 0.8/-10
= -0.08
Por lo que la ecuación de la recta es:
a = m(t- t1) + a1
a = -0.08(t- 25) + 1.6
a = -0.08t + 0.08*25 + 1.6
a = -0.08t +2 + 1.6
a = -0.08t + 3.6
Ahora bien: Si a=0, entonces
0=-0.08t + 3.6
-3.6/-0.08=t
45=t
5. Ejercicios para asesorías.
1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (0, -3) y (1, 4).2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-1, 5) y (3, -4).
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (0,2), con ángulo de inclinación 45 grados.
4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-2, 4), con ángulo de inclinación 135 grados.
5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-4, -5), con pendiente m=0.
6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-3, -5), con pendiente m=-4/3.
7. En la fruteria de la esquina, el kilo de manzanas está en $35 y un agregado de $4 por concepto de bolsa. Hallar el modelo lineal que describe el costo total de manzanas y calcular el costo total para la siguiente cantidad de kilos de manzanas: 3, 4, 5 y 6.
8. Maria tiene $1600 en una cuenta bancaria. Ella hace varios retiros por $50. Hallar el modelo lineal del resto de la cuenta bancaria a partir del número de retiros.
9. David recibe un salario de $2200 semanales más el 10% de comisión por ventas. Describir el modelo lineal del salario de David a partir del total de ventas.
10. Una empresa de gas LP que surte a un condominio, hace llegar a cada uno de los departamentos un recibo de pago. El importe total de cada mes consta de dos partes: el consumo de gas mensualmente y, el otro un pago fijo de $10 por servicio de honorarios. Tenemos la siguiente tabla con los datos siguientes:
| 1er mes | 2 do mes | |
| Consumo de gas (litro) | 18 | 15 |
| Importe total | 298 | 250 |
Hallar el modelo lineal para el importe mensual en términos del consumo de litros de gas y, hallar el precio por litro de gas (suponiendo que no ha variado el precio del gas en estos dos meses)
11. En una encuesta sobre la demanda y consumo de café se encontró que 6.5 millones de kilos se vendieron cuando el precio fué de $80 y 4 millones de kilos se vendieron cuando el precio fué de $90. Si suponemos que la cantidad de kilos vendidos está en variación lineal con el costo del café. Predecir la cantidad de kilos de café que se venderán si su costo es de $60 pesos por kilo.