*Segmento en una razón dada

Segmento en una razón dada

Teorema: Sea un segmento de recta que pasa por los puntos P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂), con r un número real tal que r ≠ -1. Si el punto R(x, y) divide al segmento |PQ| en la razón r, entonces las coordenadas x e y están dadas por:


x = (x₁+r x₂ ) / (1+r)                            y= (y₁+r y₂ ) / (1+r)
 





Demostración:


Como consecuencia del teorema de Tales tenemos que: QR / RP=r, QS / ST=r, TU / UP=r. 

y₂-y / y-y₁=r    x₂-x / x-x₁=r

y₂-y = r( y-y₁)    x₂-x = r(x-x₁)

y₂+ry1 = r y + y    x₂+rx₁ = rx + x

y₂+ry1 = y(r + 1)    x₂+rx₁ = x(r + 1)


y= (y₁+ry₂ ) / (1+r)       x = (x₁+rx₂ ) / (1+r)