6. Teorema fundamental de semejanza de triángulos

1. Semejanza de triángulos

Definición: Los triángulos ∆ABC y ∆DEF son semejantes si existe una correspondencia entre los lados del ∆ABC y ∆DEF: (AB |----->DE), (BC |-----> EF ) y (AC |-----> DF) tal que:

1. AB/DE=BC/EF=AC/DF=k, para algún número positivo k

2. <A=<D, <B=<E, <C=<F

2. Ejemplos

Ejemplo 1. Considerese los triángulos de la siguiente figura. Los triángulos son semejantes.

3. Teorema fundamental de semejanza

Teorema: [fundamental de semejanza de triángulos] Sea ABC un triángulo. Si DE es un segmento paralelo a cualquier lado del triángulo ABC, en nuestro caso al lado AC, entonces el triángulo DBE es semejante al triángulo ABC.

Ejemplo 2. Calcular la altura de la gran roca. La altura del montañista es de 1.8 metros, cuya sombra que proyecta es de 1.6 metros. La distancia entre la base del peñasco y el montañista es de 10 metros.

Solución: x/1.8=11.6/1.6, entonces x=11.6 *1.8/1.6=13.05

Teorema [de semejanza AAA]. Si en los triángulos ABC y DEF, las parejas de segmentos (AB, DE), (BC, EF ) y (AC, DF) son correspondientes. Entonces, los triángulos ABC y DEF son semejantes, si y sólo si, <A=<D, <B=<E y <C=<F.

Ejemplo:

Teorema [de semejanza AA]. Si en los triángulos ABC y DEF, las parejas de segmentos (AB, DE), (BC, EF ) y (AC, DF) son correspondientes. Entonces, los triángulos ABC y DEF son semejantes, si y sólo si, dos pares de ángulos correspondientes son iguales.

Teorema [Postulado de semejanza LAL]. Si en los triángulos ABC y DEF, las parejas de segmentos (AB, DE), (BC, EF ) y (AC, DF) son correspondientes. Entonces, los triángulos ABC y DEF son semejantes, si y sólo si, dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos incluidos son iguales.

Ejemplo 3. De como Eratóstenes calculó la longitud de la tierra por el año 230 a. de J.C.

Eratóstenes de Cirene, fue director de la antigua biblioteca de Alejandría. Eratóstenes, al leer un libro, supo que cierto día el Sol brillaba directamente hacia el interior de un pozo profundo en Siena (ahora Asuán), al mismo tiempo en Alejandría, a 804.5 km hacia el norte (sobre el mismo meridiano), los rayos del Sol brillaban haciendo un ángulo de 7.2° respecto al cenit. Ver la figura.

Grados °	7.2	360
Km	804.5	l

Por lo que l=(804.5 *360)/7.2=40,225 km.

Mediciones actuales sugieren como 40,067.96 kilómetros para la longitud de la circunferencia de la Tierra en el Ecuador.